Неперехідні ігри: від "Камінь-ножиці-папір" до кубиків Ефрона

Світ математики такий захопливий, і в ньому є багато цікавих концепцій, як-от неперехідні ігри. Це ігри, де взаємовідносини між елементами не підпорядковуються звичній логіці транзитивності. Простіше кажучи, якщо A виграє в B, а B виграє в C, це зовсім не означає, що A виграє в C.

Найпростіший приклад – класична гра “Камінь-ножиці-папір”. Ножиці ріжуть папір, папір обгортає камінь, а камінь ламає ножиці. Складніший варіант запропонував Шелдон Купер із серіалу «Теорія великого вибуху»: камінь-ножиці-папір-ящірка-Спок.

Гра Пенні

Математик і криптоаналітик Волтер Пенні вигадав гру для двох гравців. Кожен обирає послідовність із трьох кидків монети (О – орел, Р – решка): ООО, ООР, ОПО, РОО, ОРР, ПОП, РПО, РРР. Потім монету підкидають, поки не випаде одна з обраних комбінацій. Наприклад, якщо гравець A обрав ОПО, а гравець B – РРР, і випадає послідовність ООППРРПП, перемагає гравець B. Цікаво, що за правильного вибору послідовності в одного з гравців завжди є перевага. Спробуйте самі: яку послідовність ви оберете першою? Чому ця гра неперехідна?

Гральні кості Ефрона

Американський філософ і статистик Бредлі Ефрон винайшов набір із чотирьох гральних костей. Їхні грані пронумеровані таким чином:

• Кость 1: 0 0 4 4 4 4
• Кость 2: 3 3 3 3 3 3
• Кость 3: 2 2 2 2 6 6
• Кость 4: 1 1 1 5 5 5

Ці кості також неперехідні. Кость 2 завжди виграє у кості 1, кость 3 – у кості 2, кость 4 – у кості 3, а кость 1 – у кості 4.

Гральні кості Гріма

Математик Джеймс Грім запропонував інший набір гральних костей:

• Кость 1: 4 4 4 4 4 9
• Кость 2: 3 3 3 3 8 8
• Кость 3: 2 2 2 7 7 7
• Кость 4: 1 1 6 6 6 6
• Кость 5: 0 5 5 5 5 5

Ці кості також неперехідні. Яка відмінність від костей Ефрона?

Кості Зіхермана

Джордж Зіхерман винайшов пару гральних костей, які при кидку дають ті ж самі ймовірності випадання сум від 2 до 12, що й стандартні кості, але самі грані пронумеровані інакше. Спробуйте вгадати, як!