Декількома словами
Стаття представляє добірку цікавих математичних задач, що демонструють застосування принципу Діріхле. Розглядаються різні головоломки та способи їх вирішення.
Ця стаття присвячена цікавим математичним задачам, які можуть змусити вас поламати голову. В основі багатьох з них лежить принцип Діріхле (він же «принцип шухляд» або «принцип голубів»). Давайте розглянемо кілька прикладів.
Задача про покриття трикутника
Скільки найменших рівносторонніх трикутників необхідно, щоб покрити рівносторонній трикутник? Менші трикутники не обов’язково повинні бути однаковими та можуть перекриватися. Відповідь — 3. Довести це можна, виключивши меншу кількість трикутників: очевидно, що трьома покрити можна, а двома — складно.
Задача про п’ять точок
У рівносторонньому трикутнику є п’ять точок. Необхідно довести, що відстань між деякими двома з них не перевищує половини сторони трикутника. Розглянемо рішення Франсіско Монтесіноса: «З'єднавши середні точки сторін вихідного рівностороннього трикутника, отримаємо 4 трикутники зі стороною 1/2 м. Всередині одного з цих маленьких трикутників, з п'яти даних точок, обов'язково виявиться дві точки, отже, їх відстань d не може бути більше 1/2». Розділивши вихідний трикутник на 4 рівні, ми створюємо «голубник» з 4 «комірок», в якому необхідно розмістити 5 «голубів», тобто точок. Найбільша відстань, яка може бути між точками в рівносторонньому трикутнику зі стороною 1/2 м, дорівнює довжині сторони, тому дві точки, що знаходяться в ньому, можуть знаходитися на відстані не більше 1/2 м (і це, очевидно, вершини трикутника).
Цікавим є й підхід Рафаеля Гранеро:
«Дійсно, є чотири точки, які відповідають максимальному віддаленню, і навіть можна сказати, що, враховуючи чотири точки, вони є найбільш віддаленими, які можуть бути між ними: три вершини та центр. Центр знаходиться в 57,7 см від будь-якої з трьох вершин. Будь-який рух, яким би маленьким він не був, точки, розташованої в центрі, неминуче призведе до зменшення відстані до однієї або двох вершин. І те саме стосується кожної з точок, розташованих на вершинах, по відношенню до трьох інших точок. Єдині точки, які знаходяться на відстані більше 50 см, знаходяться за межами кола радіусом 50, з центром у центрі рівностороннього трикутника. Але в кожній з трьох зон усі точки знаходяться на відстані менше 8 см від найдальшої точки, яка є вершиною, тому неможливо розмістити п'яту точку на відстані більше 50 см від решти чотирьох».
Задача про кидок кубика
З якою ймовірністю потрібно буде 13 кидків кубика, щоб отримати три однакові числа? Відповідь Хуана Зубієти: «Ймовірність дійти до кидка 13 — це частка від ділення між можливими перестановками з 6 парами чисел (12!/2^6) і всіма можливими послідовностями кидків (6^12). Результат: 1925/559872 (приблизно один шанс з 291)». (Важливо пам'ятати, що йдеться не про отримання 3 разів конкретного числа, наприклад, 6, а про те, щоб якесь число випало хоча б 3 рази).
«Голубник» високого ризику
Дано набір {1, 2, …, 2n}. Довести, що в будь-якому підмножині з n+1 чисел знайдуться щонайменше два, одне з яких буде кратним іншому. Не намагайтеся розв’язати цю задачу в спеку — голуби з цього «голубника» високого ризику можуть «підсмажити» ваші нейрони.
Ці задачі демонструють, як принцип Діріхле може застосовуватися для вирішення різних головоломок і задач. Спробуйте свої сили та знайдіть власні рішення!
