Задача про 8 ферзів та інші математичні загадки

Оцінка висоти макета Ейфелевої вежі, запропонована минулого тижня, є одним з тих випадків, коли «на око» зазвичай помиляються. Більшість опитаних вважають, що залізний макет вагою в один кілограм матиме розмір звичайної літрової пляшки, хоча насправді його висота становитиме близько півтора метра. Адже, з нашої, людської, точки зору, Ейфелева вежа – це величезна маса заліза, але насправді це надзвичайно витончена структура.

Якщо округлити, Ейфелева вежа має висоту близько 300 метрів і важить близько 8000 тонн, тобто вона у 8 мільйонів разів більша за залізний макет вагою в один кілограм і, отже, у 200 разів вища (200³ = 8000000). Тоді висота макета становитиме приблизно 300/200 = 1,5 м.

Де «на око» найчастіше помиляється?

Найбільше «на око» помиляється в оцінках, пов'язаних з процесами експоненціального зростання, тобто з геометричними прогресіями. Найвідоміший приклад – це міфічний винахідник шахів, який просить як винагороду одне зерно пшениці за першу клітинку дошки, два – за другу, чотири – за третю і так далі. Нелегко уявити, що зернами, що відповідають 64 клітинкам дошки, можна було б покрити Піренейський півострів шаром пшениці товщиною в кілька метрів. Або що, склавши аркуш паперу 43 рази поспіль, можна отримати товщину, подібну до відстані від Землі до Місяця.

До речі, чи знаєте ви, чому геометричні прогресії називаються саме так? А арифметичні? І якщо ви не знаєте (що найбільш імовірно), чи можете ви запропонувати якесь розумне пояснення?

Шахівниця та її варіації: нові виклики

Говорячи про шахівницю та її варіації, невичерпні джерела головоломок усіх типів, я згадую одну, яку нещодавно надіслав мені друг, що має віддалений стосунок до класичної задачі про 8 ферзів (розмістити 8 ферзів на порожній шахівниці так, щоб жоден з них не загрожував іншому). Йдеться про те, щоб розташувати 18 фішок на дошці 6x6 так, щоб у кожному рядку, у кожному стовпці та на двох діагоналях було 3 і лише 3 фішки.

На тривіальній дошці 2x2, очевидно, що ми не можемо розмістити 2 фішки відповідно до умов задачі.

Чи можна узагальнити задачу для інших дощок з парною кількістю клітинок?

На тривіальній дошці 2x2, очевидно, що ми не можемо розмістити 2 фішки відповідно до умов задачі: вони або знаходяться в суміжних клітинках, або по діагоналі.

На дошці 4x4, чи можемо ми розмістити 8 фішок так, щоб у кожному рядку, стовпці та діагоналі було по 2?

На звичайній шахівниці 8x8, чи можемо ми розмістити 32 фішки так, щоб у кожному рядку, стовпці та діагоналі було по 4?

Ще складніше:

Чи можна довести, що на будь-якій дошці 2nx2n, де n – будь-яке натуральне число, більше за 1, ми можемо розташувати 2n² фішок так, щоб у кожному рядку, стовпці та діагоналі було по n?