Природа та геометрія пелюсток троянд

Природа та люди мають різні способи взаємодії з плоскими поверхнями в тривимірному світі. У рослин нерівномірний ріст листя або тканин викликає виникнення кривизни, що зменшує напругу, інакше вони б зламалися. Прикладом є зморшки салату на його краях. Досі так званий планарний морфогенез рослин пояснювався теоремою egregium, геометричною теорією, запропонованою математиком Карлом Фрідріхом Гауссом два століття тому. Але троянди дотримуються власного геометричного принципу. Робота, опублікована в останньому випуску Science, показує, як їхні пелюстки, спочатку криві, стають ріжучими краями за допомогою механізму, який досі не спостерігався в природному світі.

Теорема egregium

Теорема egregium не була сформульована для пояснення закономірностей, що спостерігаються в природі. У своїй короткій версії Гаусс сформулював її так: «Якщо крива поверхня розгортається на будь-якій іншій поверхні, міра кривизни в кожній точці залишається незмінною». Це має багато наслідків у галузі математики та фізики. Але є один близький, який дозволяє це зрозуміти: неможливість вірно відобразити земну кулю на площині. Полярні зони здаватимуться надмірно великими. На цих картах і паралелі, і меридіани є прямими лініями, хоча насправді вони криві та круглі. Ця геометрична фрустрація також відбувається в рослинному світі та регулює напругу між формою та ростом.

Зображення показує перехід пелюстки з кривого стану в багатокутний під час процесу росту. Zhang et al./ScienceМайкл Мозе з Інституту фізики Ракаха Єврейського університету в Єрусалимі, співавтор дослідження з трояндами, наводить два приклади, щоб пояснити відправну точку та те, чого вони досягли. Один приклад – морква. Під час росту внутрішня частина розширюється більше, ніж зовнішні шари, що створює внутрішню напругу. Якщо розрізати її на чотири частини вздовж, вони відразу ж вигнуться назовні, зменшуючи цю напругу. «Ріст моркви в цьому випадку викликав геометричну несумісність, тобто бажану форму, якої неможливо досягти», – каже Мозе. Інший приклад ближчий до таємниці троянд. Якщо краї листка ростуть швидше, ніж центр, відстані між точками листка повинні прагнути до кривої геометрії. Але пластинка зберігає рівномірну товщину, що перешкоджає її згинанню. «Результат – фрустрація: пластинка намагається зігнутися та залишатися плоскою одночасно, що є протиріччям. Це відомо як несумісність Гаусса і пояснює форму майже всіх листків і квітів», – наголошує фізик.

Однак троянди є винятком із цього правила. На відміну від м'якості контурів решти квітів (зазвичай кривих), їхні пелюстки дуже особливі. Наймолодші та внутрішні плоскі та вигнуті. Але в міру нерівномірного росту виникає геометрична фрустрація, і те, що було кривим, перетворюється на трикутні краї. «Їхні характерні форми, особливо гострі вершини на краях, неможливо пояснити геометричними принципами, відомими як несумісність Гаусса», – стверджує ізраїльський фізик.

DNIPRO, UKRAINE - MAY 21, 2024 - Roses bloom in Lazar Hloba Park, Dnipro, central Ukraine. (Photo credit should read Mykola Miakshykov / Ukrinform/Future Publishing via Getty Images)Future Publishing (Future Publishing via Getty Images)Спираючись на комп'ютерні моделі, штучні квіти та вирощування троянд сорту red baccara, з їх більш ніж сорока пелюстками темно-червоного кольору, дослідники змогли підтвердити, що вони дотримуються власного геометричного принципу. Форма пелюстки регулюється типом геометричної фрустрації, відмінної від фрустрації Гаусса, і походить від порушення ряду рівнянь, відомих як рівняння Майнарді-Кодацці-Петерсона (MCP). Також з математичної області геометрії кривих поверхонь ці рівняння описують, як згинання поверхні повинно мати плавний перехід від однієї точки до іншої, щоб уникнути розривів і неприродних складок у тривимірному просторі. «Троянда, наскільки нам відомо, є єдиною відомою природною системою, сформованою цією формою несумісності, але вона може бути не останньою», — каже Мозе. Таким чином вони демонструють, що пелюстки троянд ростуть просто, рівномірно та симетрично; ніщо в їхньому малюнку росту не вказує на кінцеву форму. «Однак цей ріст викликає несумісність MCP, що створює внутрішню напругу. Ця напруга, рівномірна, згинає пелюстку, поки вона не досягне форми, яка концентрує напругу та кривизну в довільних точках, формуючи краї пелюстки в їхні культові форми вершини», — підсумовує фізик з Інституту Ракаха.

У коментарі, також опублікованому Science, дослідники з машинобудування з Міського університету Гонконгу Лішуай Цзінь і Цінхао Цуй нагадують, що не тільки генетика чи навколишнє середовище впливають на ріст і форму, а й межі, встановлені геометрією. Щодо їхніх наслідків, окрім естетики троянд, вони нагадують, що значна частина сучасного дизайну матеріалів ґрунтується на несумісності Гаусса, наприклад, виробництво шин. І вони завершують, виділяючи шляхи, які відкриває дослідження геометричної фрустрації пелюсток троянд: «Використання несумісності Майнарді-Кодацці-Петерсона може дозволити локалізовані та програмовані зміни форми без необхідності великомасштабних варіацій відстаней поверхні. А поєднання несумісностей Гаусса та Мінарді-Кодацці-Петерсона може призвести до ще не спостережуваних деформаційних поведінок».